【導(dǎo)讀】這學(xué)期的信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對(duì)于無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)求解相鄰節(jié)點(diǎn)阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的作用，所以將其替換成 z 變換進(jìn)行描述，則在分析求解過(guò)程中會(huì)更加的清晰。
01 電阻網(wǎng)絡(luò)
一、問(wèn)題來(lái)源
在網(wǎng)文 Infinite Ladder of 1Ω of Resistor[1] 中討論了如下無(wú)窮電阻網(wǎng)絡(luò)兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的電阻。特別有意思的是，文中還是用了離散傅里葉變換（DFT）給出了另外一種求解方式。這不禁讓人們好奇：在這樣的電阻網(wǎng)絡(luò)分析中，離散傅里葉變換到底起到什么作用？
圖1.1 一歐姆組成的無(wú)線電阻網(wǎng)絡(luò)
二、問(wèn)題求解
1、普通求解方法
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實(shí)際上，原文給出了使用普通電阻串并聯(lián)分析方法， 過(guò)程也比較容易。先假設(shè)分別從節(jié)點(diǎn) (0) 和 (1) 往左和往右得到的等效電阻為
。
圖1.1.2 向左，向右兩個(gè)半邊無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻
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由于半邊電阻網(wǎng)絡(luò)是無(wú)窮大的，所以再前進(jìn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的等效電阻仍然是
。這樣就可以得到如下等式：
這樣便可以求解出
。上面等式化簡(jiǎn)為
由此可以求得
圖1.1.3 半邊無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)的每一級(jí)都是等效電阻R'
??
那么相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的電阻為
圖1.1.4 相鄰節(jié)點(diǎn)之間的等效電阻
2、離散傅里葉求解
??
假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都由外部施加有電流源進(jìn)行激勵(lì)， 分別記做為
。對(duì)應(yīng)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓為
。
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根據(jù)基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定理和歐姆定理可以知道
(1-2-1)
圖1.1.5 每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電壓與電流
??
假設(shè)序列
所對(duì)應(yīng)的離散序列傅里葉變換分別為
，則有
根據(jù)離散傅里葉變換的位移性質(zhì)，三個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)電壓
的離散傅里葉變換分別為
據(jù)前面公式（）可以知道
(1-2-2)
如果在節(jié)點(diǎn) (0), (1) 施加正負(fù)1A的電流，對(duì)應(yīng)的
。在電阻網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)形成對(duì)應(yīng)的電壓
分布。那么節(jié)點(diǎn) (0)，(1) 之間的電壓差
就是電阻網(wǎng)絡(luò)等效的電阻
。
圖1.1.6 在相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)施加正負(fù)1A電流激勵(lì)
根據(jù)
，所以
那么對(duì)應(yīng)的電阻
三、利用Z變換求解
離散序列的傅里葉變換實(shí)際上是 z 變換的一種特殊形式， 即
， 即 z 變換在單位圓上的取值 。那么上述過(guò)程是否也可以利用 z 變換求解呢？
1、z變換方程
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對(duì)于電阻網(wǎng)絡(luò)做相同的電流激勵(lì)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)輸入的電流源和節(jié)點(diǎn)對(duì)地的電壓分別記作
。它們對(duì)應(yīng)的 z 變換為
。則有
根據(jù)公式 (1-2-1) 以及 z 變換的位移特性，則有
(1-3-1)
對(duì)電阻網(wǎng)絡(luò)施加電流
，對(duì)應(yīng)的
2、留數(shù)定理求取積分
??
上述積分通過(guò)留數(shù)定理進(jìn)行求取。積分公式中包含有三個(gè)極點(diǎn)
由于
都是雙邊序列，所以它們的收斂域都是圓環(huán)。根據(jù)電流激勵(lì)源為
，所以可以知道 都是面積可和序列，所以它們存在離散傅里葉變換， 這也說(shuō)明
的收斂域包含有單位圓。
根據(jù)上述分析，可以知道積分號(hào)中的被積函數(shù)的收斂域只能如下圖所示。
圖1.3.1 積分式內(nèi)函數(shù)的收斂域
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所以，
對(duì)應(yīng)的圍線積分的路徑中只包含有
兩個(gè)極點(diǎn)。這兩個(gè)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的留數(shù)分別為
所以相鄰節(jié)點(diǎn)之間的電阻為：
02 DFT與ZT
到此為止，我們了解了在求解電阻網(wǎng)絡(luò)相鄰節(jié)點(diǎn)電阻的時(shí)候，利用離散傅里葉變換（DFT）的作用，并不是對(duì)于各節(jié)點(diǎn)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，而是利用 DFT 描述了電阻網(wǎng)絡(luò)在節(jié)點(diǎn)電流激勵(lì)下 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)電壓之間的關(guān)系。也就是把上面表達(dá)式（1-2-1）轉(zhuǎn)換成（1-2-2）。然后在DFT變換域內(nèi)對(duì)
作用下求解
，進(jìn)而可以獲得
。
?
在最后計(jì)算過(guò)程中，需要對(duì)比較復(fù)雜的三角函數(shù)進(jìn)行積分，這個(gè)過(guò)程顯得比較麻煩。
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離散傅里葉變換實(shí)際上是 z 變換的一種特殊形式， 也就是
，即 z 變換在單位圓上的取值。所以將上述分析更換成 z 變換的形式，也能夠進(jìn)行求解。
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如果將電阻網(wǎng)絡(luò)看成離散節(jié)點(diǎn)電流輸入
，離散節(jié)點(diǎn)電壓輸出
，因此這是一個(gè)線性離散時(shí)不變系統(tǒng)。描述它可以使用 z 變換。這樣系統(tǒng)方程就變成了（1-3-1）。在 z 變換域內(nèi)求取系統(tǒng)的輸出更加方便。
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可以看到最后計(jì)算時(shí)，利用留數(shù)定理計(jì)算最終的積分值比較方便，避免了比較復(fù)雜的三角函數(shù)的積分計(jì)算。但在分析被積函數(shù)的收斂域的時(shí)候，需要比較小心。
總結(jié)
這學(xué)期的信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對(duì)于無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)求解相鄰節(jié)點(diǎn)阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的作用，所以將其替換成 z 變換進(jìn)行描述，則在分析求解過(guò)程中會(huì)更加的清晰。
參考資料
[1] Infinite Ladder of 1Ω of Resistor: https://sites.google.com/site/resistorgrid/node1#sec:1D
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